114 學年度臺灣大學轉學生招生考試｜第 70 題
微積分(B)
提示
對 1 - sin x / x 在 x→0 時做泰勒展開（≈ x²/6），取對數後分析指數 ln(底)/ln x 的極限。
正確答案
正解：7.3890560989（容差 ±0.01）
詳解
設 L = limx→0+ (1 - sin x / x)1/ln x，取對數：ln L = limx→0+ ln(1 - sin x / x) / ln x。
因 sin x = x - x³/6 + ⋯，故 1 - sin x / x = x²/6 - x⁴/120 + ⋯ = (x²/6)(1 - x²/20 + ⋯)。於是 ln(1 - sin x / x) = ln(x²/6) + ln(1 - x²/20 + ⋯) = 2 ln x - ln 6 + O(x²)。
除以 ln x：[2 ln x - ln 6 + O(x²)] / ln x = 2 - (ln 6)/ln x + O(x²/ln x)。當 x→0+ 時 ln x → -∞，故第二、三項皆 →0，得 ln L = 2。
因此 L = e² ≈ 7.389056。（數值收斂很慢，因 -(ln 6)/ln x 衰減極緩，但極限確為 e²。）
