114 學年度臺灣大學轉學生招生考試｜第 76 題
微積分(B)
提示
代換 x = 4 sin²θ，則 (4-x)/x = cot²θ、dx = 8 sinθ cosθ dθ，積分化為 ∫ 8 cos²θ dθ。
正確答案
正解：5.1415926536（容差 ±0.01）
詳解
令 x = 4 sin²θ，θ∈[0, π/4]（x: 0→2 對應 sin²θ: 0→1/2）。則 4 - x = 4 cos²θ，(4-x)/x = cot²θ，√((4-x)/x) = cotθ；dx = 8 sinθ cosθ dθ。
被積式：cotθ · 8 sinθ cosθ dθ = 8 cos²θ dθ。
∫0π/4 8 cos²θ dθ = 8 [θ/2 + sin 2θ/4]0π/4 = 8 [π/8 + 1/4] = π + 2 ≈ 5.141593。
故 ∫02 √((4-x)/x) dx = π + 2。
