114 學年度臺灣大學轉學生招生考試｜第 80 題
微積分(B)
提示
正確答案
讀圖（y=f'(x)）：x∈[0,1] 為線段由 (0,0) 升至開點 (1,1)；x=1+ 起自開點 (1,-1)，下凹至開點 (2,-2)（極小）後上升，於 x=3 處過零並陡升，x→4- 時 f'→+∞；x=4+ 自 -∞ 上升，於約 x=5 附近過零，形成位於 x 軸上方的小凸起後再下降，至 x=6 約為 -1。f' 在 x=1、2 為跳躍不連續，x=4 為垂直漸近。
(a) f 在 x=2 的右導數 = limx→2⁺ [f(x)-f(2)]/(x-2)；由均值定理，此差商等於某中間點之 f'，當 x→2⁺ 時 f'(ξ)→ f'(2⁺)。由圖 f' 自 x=2+ 起點為 -2（開點），故右導數＝-2。同理左導數 = f'(2-)，由圖 x=2- 時 f'→-2，故左導數亦＝-2。兩單側導數相等（皆 -2），雖 f'(2) 本身未定，f 在 x=2 仍可微，f'(2)=-2。
(b) 臨界數＝f'(x)=0 或不存在之點。f'=0：x=3、以及 (4,6) 內過零點（約 x≈5 一處由負轉正、之後再由正轉負一處）；f' 不存在：x=1、2（跳躍）、x=4（無界）。局部極大：f' 由正轉負處（x=1- 附近 f' 由正→1 後跳為負，故 x=1 為局部極大候選；以及 (5,6) 內 f' 由正轉負之點）。局部極小：f' 由負轉正處（x=3，f' 由負轉正；及 (4,5) 內 f' 由負轉正之點）。（依圖形精確判讀：x=1 局部極大、x=3 局部極小；x=4 因 f' 不存在但 f 連續，需逐一檢查符號變化。）
(c) y=f(x) 上凹 ⇔ f''>0 ⇔ f' 遞增；下凹 ⇔ f' 遞減。由圖：f' 在 (2,4) 遞增（上凹）、在 (0,1) 遞增（上凹）；f' 在 (1,2) 遞減（下凹），(4,5) 遞增、(5,6) 遞減。反曲點出現在 f' 由增轉減或反之之處（如 x=2 附近、x=5 附近）。請依圖逐段標明。
(d) 由各區間 f' 的符號（f 增減）與大小（陡緩）描繪 f：f(0)=0，(0,1) f'>0 故 f 增；(1,2)~(2,3) f'<0 故 f 減（在 x=3 前後 f' 由負轉正，f 有局部極小）；(3,4) f'>0 且趨於 +∞ 故 f 陡增；(4,?) f' 由 -∞ 回升，f 先減後依符號變化；f(4)=0 為已知定點。據此連成連續曲線。
(e) 對 x>6，f'(x) = -32/(x²+2x) - 6/(x²-6x+18)。limx→∞ f(x) - f(6) = ∫6∞ f'(x) dx。第一項：-32/[x(x+2)] = -16(1/x - 1/(x+2))，積分 6→∞ 得 16 ln(3/4)。第二項：-6/[(x-3)²+9]，積分得 -2 arctan((x-3)/3)，6→∞ 得 -2(π/2 - π/4) = -π/2。合計 = 16 ln(3/4) - π/2 ≈ -6.1737。故 limx→∞ f(x) - f(6) = 16 ln(3/4) - π/2 ≈ -6.174。
評分標準
題目：第 6 題，給定 y=f'(x) 的圖形，含 (a)-(e) 五小題（滿分 100 分，對應原卷 5+5+8+6+6=30 分，按比例換算）。 各小題配分（合計 100）： (a) 差商與可微性（17 分） (b) 臨界數與局部極值（17 分） (c) 凹性區間與反曲點（27 分） (d) 描繪 f 在 [0,6] 的圖形（20 分） (e) lim_{x→∞} f(x)-f(6) 的積分（19 分） 各維度標準答案與給分： (a) 由均值定理，[f(x)-f(2)]/(x-2) 之單側極限 = f' 的單側極限。由圖 f'(2⁺)=-2（開點）、f'(2⁻)=-2，兩者相等 ⇒ f 在 x=2 可微，f'(2)=-2。 - 兩單側差商皆得 -2：12 分；正確論證可微（兩側相等）：5 分。 (b) 臨界數＝f'=0 或不存在處：f'=0 於 x=3 及 (4,6) 內過零點；f' 不存在於 x=1、2、4。局部極大（f' 由 +→-）、局部極小（f' 由 -→+）須按圖判定（x=1 附近極大、x=3 極小等）。 - 正確列出臨界數：9 分；正確分類極大/極小：8 分。 (c) f 上凹 ⇔ f' 遞增；下凹 ⇔ f' 遞減。正確指出 f' 遞增區間（如 (2,4)、(0,1)、(4,5)）為上凹、遞減區間（如 (1,2)、(5,6)）為下凹；反曲點在 f' 增減轉換處。 - 上凹/下凹區間正確：18 分；反曲點：9 分。 (d) 依 f' 符號與大小描繪 f：含 f(0)=0、f(4)=0、各段增減與陡緩、x=4 附近的尖點行為。 - 趨勢正確且關鍵點標註：20 分（部分正確按比例）。 (e) f'(x)=-32/(x²+2x)-6/(x²-6x+18)。∫₆^∞：第一項部分分式 -16(1/x-1/(x+2)) → 16 ln(3/4)；第二項 -6/((x-3)²+9) → -2 arctan((x-3)/3) → -π/2。合計 16 ln(3/4) - π/2 ≈ -6.174。 - 部分分式/配方正確：8 分；兩項積分正確：8 分；最終值 16 ln(3/4)-π/2：3 分。 給分原則： - 各小題獨立給分，依考生作答完整度與正確性按上述比例給分。 - (a)-(d) 需與「給定的 f' 圖形」一致；只要讀圖正確、邏輯正確即給分，容許區間端點的開閉細節差異。 - (e) 為純計算題，最終值正確（或等價式如 16 ln(3/4)-π/2、-16 ln(4/3)-π/2）即給滿；只算對其中一項給部分分。 - 僅就上述五小題要求評分，不額外加扣。
