114 學年度臺灣大學轉學生招生考試｜第 81 題
微積分(B)
提示
正確答案
curl F：F=(z, 0, yz)。curl F = (∂(yz)/∂y - 0, ∂z/∂z - ∂(yz)/∂x, 0 - ∂z/∂y) = (z, 1, 0)。
(a) S 為圖面 z=g(x,y)=cos x sin y，(x,y)∈D=[0,π/2]×[0,π]，上向。法向量元素 dS=(-gx, -gy, 1) dA，gx=-sin x sin y、gy=cos x cos y。
curl F · dS = (z,1,0)·(-gx,-gy,1) = z(-gx) - gy = (cos x sin y)(sin x sin y) - cos x cos y。
∬S curl F·dS = ∫0π∫0π/2 [cos x sin x sin²y - cos x cos y] dx dy。第一項 = (∫0π/2 cos x sin x dx)(∫0π sin²y dy) = (1/2)(π/2) = π/4。第二項 = -(∫0π/2 cos x dx)(∫0π cos y dy) = -(1)(0) = 0。故結果 = π/4。
(b) 邊界 C＝矩形邊界之像（逆時針，配合上向）。F·dr = z dx + yz dz。三條落在 z=0 的邊（y=0、x=π/2、y=π，因 z=cos x sin y 在這些邊皆為 0）貢獻為 0。僅 x=0 邊（y 由 π 到 0）：z=sin y，dz=cos y dy，dx=0，被積式 = y z dz = y sin y cos y dy = (y/2) sin 2y dy。
∮ = ∫π0 (y/2) sin 2y dy = -∫0π (y/2) sin 2y dy。由分部積分 ∫0π (y/2) sin 2y dy = (1/2)[-y cos 2y/2 + sin 2y/4]0π = (1/2)(-π/2) = -π/4。故 ∮C F·dr = -(-π/4) = π/4。
與 (a) 的 π/4 相符，驗證 Stokes 定理。
評分標準
題目：第 7 題，曲面 S: z=cos x sin y（0≤x≤π/2, 0≤y≤π，上向），F=zi+yzk，含 (a)(b)（滿分 100 分，對應原卷 10+10=20 分，按比例換算）。 各小題配分（合計 100）： (a) 直接計算 ∬_S curl F · dS（50 分） (b) 用邊界線積分 ∮_C F·dr 驗證 Stokes（50 分） (a) 標準解與給分： - curl F = (z, 1, 0)（10 分）。 - 圖面上向法元素 dS=(-g_x, -g_y, 1)dA，g=cos x sin y，g_x=-sin x sin y、g_y=cos x cos y（10 分）。 - curl F·dS = cos x sin x sin²y - cos x cos y（10 分）。 - 在 [0,π/2]×[0,π] 積分：第一項 (1/2)(π/2)=π/4，第二項 (1)(0)=0（15 分）。 - 結果 = π/4（5 分）。 (b) 標準解與給分： - 正確判定邊界 C 的方向（配合上向，逆時針）並分解為四段（10 分）。 - 認出三段落在 z=0（y=0、x=π/2、y=π）貢獻為 0（15 分）。 - x=0 段：z=sin y、dz=cos y dy，被積式 (y/2) sin 2y dy，方向 y:π→0（15 分）。 - 積分得 π/4，並指出與 (a) 相符、符合 Stokes 定理（10 分）。 標準答案：(a) ∬_S curl F·dS = π/4；(b) ∮_C F·dr = π/4，兩者一致驗證 Stokes。 給分原則： - (a)、(b) 各自獨立給分；只要最終值 π/4 且過程合理，各給該小題滿分。 - curl F 算錯（如漏項）會連帶影響 (a) 後續，按錯誤傳遞酌情給部分分。 - (b) 若用其他正確的邊界參數化（只要方向與上向一致）得 π/4，亦給滿分。 - 明確點出「線積分＝面積分，符合 Stokes」可確保 (b) 末段分數；僅算對數值未點明一致性，扣末段 5 分。 - 僅就 (a)(b) 要求評分。
